Si $X$ es un espacio vectorial finito dimensional y $\left( e_{j}\right) $ es una base para $X$. Demuestre que un producto interior en $X$ está completamente determinado por los valores $\gamma_{ik}=\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle$. ¿Podemos elegir estos escalares $\gamma _{ik}$ de una manera completamente arbitraria? Solución: Sean $n=\dim (X)$, $\left( e_{j}\right) _{j=1}^{n}$ una base para $X$, para cualesquier $x,y\in X$ , $$ \begin{array}{c} x=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\cdots +\alpha _{n}e_{n} \\ y=\beta _{1}e_{1}+\beta _{2}e_{2}+\cdots +\beta _{n}e_{n}% \end{array} $$ Si $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle $ es un producto interior en $X$ tenemos que: $$ \begin{array}{ccl} \left\langle x,y\right\rangle & = & \left\langle x,y\right\rangle \\ & = & \left\langle \alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\cdots +\alpha _{n}e_{n},\beta _{1}e_{1}+\beta _{2}e_{2}+\cdots +\beta _{n}e_{n}\right\rangle \\ & = & \displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left\langle \alpha _{i}e_{i},\beta _{k}e_{k}\right\rangle \\ & = & \displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{i}\overline{\beta _{k}}\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle \\ & = & \displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{i}\overline{\beta _{k}}\gamma _{ik}, \end{array} $$ donde $\gamma _{ik}=\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle.$ Lo anterior significa que dado un producto interior la definición de éste depende de los valores que tomen $\gamma _{ik}=\left\langle e_{i},e_{k}\right\rangle$. \textquestiondown Podemos elegir estos escalares $\gamma _{ik}$ de una manera completamente arbitraria? No, se requiere que $\gamma _{ik}\neq 0$, para $i=k$, veamos, supongamos $\left\langle e_{j},e_{j}\right\rangle =0\,\ $algún $ j=1,...,n $ $$ \begin{array}{rcl} \left\langle e_{j},e_{j}\right\rangle & = & 0 \\ \left\Vert e_{j}\right\Vert ^{2} & = & 0 \\ e_{j} & = & \mathbf{0} \end{array} $$ Lo cual implica que $\left( e_{j}\right) $ no es L.I., contradiciendo el hecho de que es una base para $X$.