Teoría: Método de Newton en el Plano Complejo
El método de Newton es una técnica iterativa para encontrar raíces de funciones. En el plano complejo, para una función \(f(z)\), el método se define como:
\[ z_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(z_n)} \]
Para las funciones de la forma \(f(z) = z^n - 1\), las raíces son las raíces n-ésimas de la unidad, dadas por:
\[ z_k = e^{2\pi i k/n}, \quad k = 0,1,\ldots,n-1 \]
Las cuencas de atracción son las regiones del plano complejo donde los puntos iniciales convergen a una raíz específica. Cada color en el gráfico representa una cuenca diferente.
Para \(f(z) = z^n - 1\):
- La derivada es \(f'(z) = nz^{n-1}\)
- La iteración de Newton se convierte en: \[ z_{n+1} = z_n - \frac{z_n^n - 1}{nz_n^{n-1}} = \frac{(n-1)z_n^n + 1}{nz_n^{n-1}} \]
- El método converge cuadráticamente cerca de las raíces
Criterios de convergencia:
- Se considera que el método ha convergido cuando \(|z_{n+1} - z_n| < \text{tolerancia}\)
- Se usa una tolerancia de \(10^{-4}\) y un máximo de 20 iteraciones
- Los puntos que no convergen o divergen se excluyen del gráfico
- Las fronteras entre cuencas forman fractales
- Los puntos en las fronteras pueden tener comportamiento caótico
- La simetría de las cuencas refleja la simetría de las raíces
- El área de cada cuenca es aproximadamente igual
Para diferentes valores de n:
- n = 2: Dos cuencas separadas por una línea recta
- n = 3: Tres cuencas con fronteras fractales
- n ≥ 4: Patrones cada vez más complejos