Sobre mi
Profesor Favián Arenas
Mi nombre es Favian Arenas, soy docente universitario desde 1999. He creado este sitio con el fin de organizar la información relacionada con mis cursos que he puesto en línea y algunos de los resultados de investigación en temas que son de mi interés. Espero te sea de utilidad.
Actualmente soy docente del departamento de Matemáticas de La universidad del Cauca, en Colombia. En el año 2022, mi currículo estuvo entre aquellos que cumplieron los criterios relacionados en los Términos de Referencia de la Convocatoria Nacional para el reconocimiento y medición de grupos de investigación, desarrollo tecnológico e innovación y para el reconocimiento de investigadores del Sistema Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación. Fui reconocido como Investigador Junior.
Resultados de investigación
En ésta sección pongo a disposición del público en general algunos resultados de trabajos de investigación.
Álgebra lineal numérica
Rosana Pérez Mera, Héctor J. Martínez Romero y Favián E. Arenas Aparicio
El álgebra lineal numérica consiste en el planteamiento, análisis y solución de los problemas básicos del álgebra lineal desde un punto de vista numérico, centrándose en el estudio de algoritmos “prácticos” para resolver dichos problemas en un computador usando aritmética de precisión finita.
La idea de escribir un libro de álgebra lineal numérica, a nivel introductorio, surgió de nuestra experiencia orientando el curso a estudiantes de Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas y Maestría en Ciencias Matemáticas de la Universidad del Cauca, y Maestría en Matemáticas de la Universidad del Valle.
El texto introduce al lector en el estudio y solución de tres grandes problemas: sistemas de ecuaciones lineales, mínimos cuadrados lineales, y valores y vectores propios. Teniendo como meta su solución numérica y conscientes de que la buena comprensión de un algoritmo que resuelva un problema requiere del conocimiento teórico que lo sustenta, para cada problema desarrollamos el marco teórico necesario que conduce naturalmente al respectivo algoritmo (o algoritmos) de solución. Además, estudiamos aspectos generales relacionados con la aritmética de precisión finita, íntimamente relacionada con el trabajo numérico en un computador que puede afectar los cálculos computacionales.
Con el ánimo de ampliar el conocimiento sobre los antecedentes en esta área, incluimos breves notas históricas sobre la vida de algunos de los matemáticos o analistas numéricos que cimentaron las bases del álgebra lineal numérica, quienes con su legado han permitido un gran avance en el área.
Comparación numérica de métodos tipo Newton generalizado y el algoritmo extragradiente para el problema de complementariedad no lineal
Favián Enrique Arenas Aparicio y Diego Zambrano V.
En este artículo realizamos una comparación numérica de dos métodos tipo Newton generalizado, que utilizan las funciones de complementariedad mínimo y Fisher - Burmeister, respectivamente y un método que utiliza proyecciones llamado algoritmo extragradiente. Dado que el problema de complementariedad no lineal es de gran interés para muchos investigadores por sus numerosas aplicaciones en Ingeniería y Física, presentamos un estudio numérico comparativo que permita elegir uno de los métodos según la necesidad.
DescargarResolviendo el problema de valores propios complementarios mediante un algoritmo cuasi-Newton
Favián Enrique Arenas Aparicio, Carlos Andrés Arias Torres y Rosana Pérez Mera
En este artículo consideramos el problema de valores propios complementarios, de gran interés para muchos investigadores por sus numerosas aplicaciones en Ingeniería y Física, y abordamos su solución como un problema de complementariedad no lineal usando un método cuasi-Newton, un tipo de método que, hasta donde conocemos, no ha sido utilizado para dicho fin. Verificamos que el problema satisface ciertas hipótesis que permiten utilizar un algoritmo global cuasi-Newton y realizamos pruebas numéricas que muestran la eficacia del algoritmo utilizado y lo hacen una buena alternativa de solución para problemas de valores propios complementarios.
Descargarlocal Jacobian smoothing method for solving Nonlinear Complementarity Problems
Favián Enrique Arenas Aparicio, Rosana Pérez Mera y Héctor Jairo Martínez
In this paper, we present a smoothing of a family of nonlinear complementarity functions and use its properties in combination with the smooth Jacobian strategy to present a new generalized Newton-type algorithm to solve a nonsmooth system of equations equivalent to the Nonlinear Complementarity Problem. In addition, we prove that the algorithm converges locally and q-quadratically, and analyze its numerical performance.
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El problema de complementariedad No lineal: Teoría, aplicaciones y nuevos algoritmos para su solución
Pérez Mera, Rosana; Arenas A., Favián Enrique; Martínez R., Héctor Jairo; Arias T., Carlos Andrés
El Problema de Complementariedad No Lineal, que en algunos contextos es sinónimo de sistema en equilibrio, ha despertado el interés de muchos investigadores por sus numerosas aplicaciones en Ciencias, Ingeniería y Economía. Los desarrollos teóricos sobre este problema abrieron un camino muy promisorio para nuevas investigaciones y para el diseño de métodos computacionales para su solución; en particular, la técnica llamada de reformulación ha sido muy popular, sobre todo en las dos últimas décadas. Motivados por la importancia de este problema y la necesidad de nuevos algoritmos para su solución, hemos propuesto métodos tipo cuasi Newton tanto locales como globales que han resultado competitivos frente a los de tipo Newton, tradicionalmente usados con el mismo fin. Además, hemos realizado su análisis de convergencia y un estudio numérico de su desempeño. Reunimos los principales resultados de nuestra investigación en este libro que esperamos sirva de motivación a estudiantes e investigadores que quieran introducirse en el tema. Distribuimos su contenido en siete capítulos: el primero, introduce el problema, su importancia y la técnica de reformulación. El segundo, establece condiciones de existencia y unicidad de soluciones. El tercero, analiza teóricamente una familia uniparamétrica de funciones que juega un papel fundamental en la reformulación del problema. El cuarto, reformula el problema como un sistema de ecuaciones no lineales. El quinto, presenta cuatro aplicaciones de complementariedad no lineal. El sexto y séptimo, el corazón de nuestros aportes, contienen los algoritmos cuasi Newton propuestos: sus resultados de convergencia tanto local como global y sus pruebas numéricas.
ComprarUn software interactivo para el entrenamiento de redes neuronales multicapa usando el método secante estructurado
Favián Enrique Arenas Aparicio y Hevert Vivas
En este artículo, presentamos un nuevo software para el entrenamiento de redes neuronales artificiales, el cual, tiene como base el método de mínimos cuadrados no lineales y que utiliza los métodos secantes estructurados, implementados por primera vez en (Vivas, Martínez, & Pérez, 2018). La novedad de nuestra propuesta es que dicho software permite modificar la cantidad de capas ocultas, el número de neuronas en cada capa, y se incorporan los métodos secantes estructurados. Presentamos pruebas numéricas que muestran el buen desempeño del software en tres problemas de clasificación tomados de un base de datos libre (Newman, 2018).
Descargar | Descargar softwareUn algoritmo híbrido para resolver la ecuación cuadrática matricial
Rosana Pérez Mera, Eduard Mauricio Macías Caicedo y Favián Enrique Arenas Aparicio
En este artículo se presenta un algoritmo híbrido para resolver el problema de los valores propios cuadrático, el cual combina un algoritmo para el cálculo de soluciones de la ecuación cuadrática matricial con un algoritmo tradicional para el cálculo de valores propios. Además, se presenta un análisis comparativo del desempeño de este algoritmo híbrido y del tradicional método de Newton cuando son aplicados a doce problemas que surgen en diferentes áreas de la ingeniería.
DescargarUn modelo de redes neuronales para complementariedad no lineal
Favián Enrique Arenas Aparicio, Rosana Pérez Mera y Hevert Vivas
En este artículo presentamos un modelo de red neuronal para resolver el problema de complementariedad no lineal. Para ello, reformulamos este problema como uno de minimización sin restricciones usando una familia uniparamétrica de funciones de complementariedad. Demostramos resultados de existencia y convergencia de la trayectoria de la red neuronal, así como resultados de estabilidad en el sentido de Lyapunov, estabilidad asintótica y exponencial. Además, presentamos resultados numéricos preliminares que ilustran un buen desempeño práctico del modelo.
DescargarMétodo BFGS estructurado para la estimación de máxima verosimilitud
Favián Enrique Arenas Aparicio, Rosana Pérez Mera y Héctor Jairo Martínez
Teniendo en cuenta la estructura especial de la matriz hessiana del logaritmo de la función de verosimilitud análoga a la estructura encontrada en problemas de mínimos cuadrados no lineales, se propone el método BFGS estructurado para el problema de la estimación de máxima verosimilitud y se desarrolla su teoría de convergencia local y q−superlineal siguiendo los lineamientos generales de la teoría de convergencia desarrollada para métodos secante estructurados y la teoría sobre estimaciónde la máxima verosimilitud. Además, se realizaron pruebas numéricas preliminares que muestran el buen comportamiento local del método propuesto.
DescargarLeast Change Secant Update Methods for Nonlinear Complementarity Problem
Favián Enrique Arenas Aparicio, Rosana Pérez Mera, Héctor Jairo Martínez
In this work, we introduce a family of Least Change Secant Update Methods for solving Nonlinear Complementarity Problems based on its reformulation as a nonsmooth system using the one-parametric class of nonlinear complementarity functions introduced by Kanzow and Kleinmichel. We prove local and superlinear convergence for the algorithms. Some numerical experiments show a good performance of this algorithm.
DescargarRedefinición de la función de complementariedad de Kanzow
Favián Enrique Arenas Aparicio, Rosana Pérez Mera, Héctor Jairo Martínez
En los últimos años, ha aumentado la investigación relacionada con la búsqueda de algoritmos eficientes que resuelvan el problema de complementariedad no lineal mediante su reformulación como un sistema de ecuaciones no lineales, no diferenciable, usando las llamadas funciones de complementariedad. En este artíıculo, consideramos la función de complementariedad uniparamétrica propuesta por Kanzow y proponemos una nueva forma de definirla mediante una forma cuadrática, simétrica y definida positiva. Con esta nueva definición, demostramos que la función está bien definida y algunas de sus propiedades. Además, encontramos cotas de gran utilidad en el desarrollo de teorías de convergencia (local y global) de algoritmos que resuelven el problema de complementariedad no lineal.
DescargarEl método DL para resolver sistemas de ecuaciones no lineales
Favián Enrique Arenas Aparicio, Ramiro Miguel Acevedo Martínez y Rosana Pérez Mera
En un trabajo reciente Davidchack y Lai [2001], propusieron el método DL como una alternativa a las deficiencias que presenta el método de Newton para encontrar puntos de periodo p de sistemas dinámicos, cuando el valor de p aumenta. En este artículo se presenta un estudio teórico y numérico del desempeño de este método en la solución de cualquier sistema de ecuaciones no lineales. Teóricamente, se presenta el análisis de convergencia local del método usando hipótesis usuales en el análisis de métodos tipo Newton. Desde un punto de vista numérico, se propone una elección particular del parámetro del método, la cual se ilustra con un ejemplo. Algunos resultados numéricos del desempeño del método considerando valores crecientes del parámetro del problema y cuatro funciones de prueba propuestas en [Lukšan, L.,1998] complementan el trabajo.
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